Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.
В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры - треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.
Содержание:
- Определение треугольника
- Классификация треугольников
- Свойства треугольников
- Медианы треугольника
- Биссектриссы треугольника
- Высоты треугольника
Определение треугольника
Треугольник - это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом - △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.
Треугольник ABC (△ABC)
- Точки A, B и C - вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
- Отрезки AB, BC и СА - стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
- Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b - β, с - γ.
Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом - ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:
- угол α - ∠ВСА или ∠ACB;
- угол β - ∠ВАC или ∠CAB;
- угол γ - ∠АBC или ∠CBA;
Классификация треугольников
Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.
1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
∠ α ≠ ∠ β ≠ ∠ γ
2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
∠ α=∠ β
3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
∠ α = ∠ β = ∠ γ = 60°
4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
∠ β < 90°
∠ γ < 90°
5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
∠ β < 90°
∠ γ > 90°
6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
∠ β < 90°
∠ γ = 90°
Свойства треугольника
1.Свойства углов и сторон треугольника.
- Сумма всех углов треугольника равна 180°:
- Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
b + c > a
c + a > b
- В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α = β, тогда a = b
2.Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | |
| sin α | sin β | sin γ |
3. Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
b2 = a2 + c2 - 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos γ
4. Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Медианы треугольника
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
| AO | = | BO | = | CO | = | 2 | |
| OD | OE | OF | 1 |
3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF
4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
= S∆BOD = S∆COD = S∆COE
5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны:
mb = 12√2a2+2c2-b2
mc = 12√2a2+2b2-c2
Формулы сторон через медианы
c =
Биссектриссы треугольника
Биссектриса угла треугольника— луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника:
1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке О,которая называется ИНЦЕНТР. Инцентр равноудален от трех сторон треугольника, следовательно инцентр - центр вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
| AE | = | EC |
| AB | BC |
3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
5. Если в треугольнике три биссектрисы равны, то треугольник — равносторонний.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
Высоты треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
- внутри треугольника - для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной - для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника - для острых углов тупоугольного треугольника.
Свойства высот треугольника
1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке O, называемой ортоцентром треугольника.
2. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
3. Если в треугольнике все высоты равны, то треугольник — равносторонний.
Формулы высот треугольника
hb= c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь: